邵雍(公元1011~1077年)，字堯夫，謚康節，是中國北宋時期著名的哲學家，主要哲學著作有《皇極經世書》。他發展《周易》象數學，以“數”作為其哲學思想的邏輯起點，提出一種《周易》先天學。此學有關于伏羲八卦與六十四卦卦序排列的四種圖表，稱為《伏羲四圖》，即《先天圖》。

    近二十多年來學術界討論的一個非常熱門的話題就是：德國大哲學家、數學家萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz,1646-1716)發明“二進制”與邵雍《先天圖》的關系。參加這場討論的有西方包括李約瑟(JosephNeedham,1900-1995)在內的科學史家，以及國內許多著名的科學史與中國哲學史的專家學者。討論的焦點大致有兩個：一是邵雍的《先天圖》卦序是否一種二進制的記數方法？或是一種“無意識的巧合”而符合二進制的記數方法關系？二是萊布尼茨發明二進制是否受了邵雍《先天圖》的啟發？主流的學術觀點認為邵雍的《先天圖》不是二進制記數方法，或至少不是一種自覺運用的二進制的記數方法；萊布尼茨在其發明二進制之前并未看到邵雍的《先天圖》。

    這一問題之所以存在長期爭論，有人歸結為這樣一種原因，即懂得《周易》的學者不大懂得自然科學，而懂得自然科學的學者又往往不懂《周易》。這確實是一個重要的原因。但這又并不是絕對的，萊布尼茨用二進制的視角去讀《先天圖》，并不需要他很懂《周易》；而《周易》有幾千年的發展歷史，誰又可以說完全弄懂了它？況且，邵雍的《皇極經世書》又是一部很難懂的書。

    在筆者看來，首先應懂得怎樣去讀邵雍的《先天圖》，從中看它的卦序是不是二進制的記數方法，它如何是或如何不是二進制的記數方法。如果說邵雍當時已經發明、并自覺運用了二進制的記數方法，那萊布尼茨發明二進制時是否受了邵雍《先天圖》啟發的問題就已經不那么重要了。如果不是這樣，那萊布尼茨發明二進制時即使看到了邵雍的《先天圖》，那又能說明什么呢？

    邵雍的《先天圖》四圖的卦序都遵循著一種邏輯法則，當時被稱為“加一倍法”。所謂“加一倍法”即是今天嚴格意義上的“二進制”的記數方法。其中有二圖比較直觀，茲附圖下：

    邵雍的《先天圖》無論八卦還是六十四卦，其卦序順讀都是始《乾》終《坤》，我們的絕大多數學者都按順讀的方法來讀它，這當然不容易發現其中的二進制的記數方法。但邵雍已經指出：“夫易之數，由逆而成矣。”(《皇極經世書》卷十三)他告訴我們考察《先天圖》的易數關系的要訣是“逆數”，其中包括卦序的“逆數”和爻序的“逆數”。卦序的“逆數”是從《坤》卦至《乾》卦，如果我們將卦畫中的設定為“0”，設定為“1”，那上面的《伏羲八卦次序圖》正好是按二進制記數方法所表示的0-7的自然數表：

   《伏羲六十四卦方位圖》在六十四卦的圓圖中，又置有一個六十四卦的方圖。無論圓圖和方圖，卦序之中都內在地體現嚴格意義上的二進制的記數方法。其中的方圖更為典型而直觀，讀懂它的要訣就是“逆數”，即由左向右，第一行始坤終否，接第二行始謙終遯，再接第三行始師終訟，以下接第四行、第五行、第六行、第七行，最后接第八行始泰終乾。而這正是按二進制方法所表示的0-63的自然數表：

    需要指出的是，《先天圖》的二進制數表是以《周易》卦畫為形式的。從易數的觀點看，卦畫所表示的是數，而不是象。其計數方式是通過兩個基本的卦畫符號和來進行的。而爻位就是二進制數的位值。先天八卦圖體現的是三位二進制數表(0-7)，先天六十四卦圖體現的是六位二進制數表(0-63)。

    以上所說，是讀懂《先天圖》卦序的要訣：卦序的“逆數”。而要進一步理解先天易數的具體進位方法，還有一個要訣，就是爻序的“逆數”：由低數位向高數位進位，是上爻向五爻進位，五爻向四爻進位，四爻向三爻進位，三爻向二爻進位，二爻向初爻進位。而進位的原則是逢二進一位。

    現代國內外有學者提出邵雍《太極圖》的易數關系并不是一種自覺運用的二進制的記數方法。我們認為，如果邵雍不是自覺運用“二進制”的記數方法排出這一卦序，我們想不出他還可能用其他方法排出這種卦序，而正巧與“二進制”的數表完全相吻合。

    因為大家都知道，如果我們對六十四卦任意排列組合，那可以排出的卦序的種類，應是64的階乘：1乘2乘3乘4……乘64,其結果將是一個無比龐大的數字。而邵雍能一卦不差地排列出符合二進制數表的卦序，如果將這說成是一種“無意識的巧合，”此種巧合的機率渺乎其微，幾乎完全不可能，這反過來說明邵雍已經發明并能熟練運用“二進制”的記數方法。問題在于，邵雍雖然已經發明了二進制的方法，但除了能邏輯地處理卦序關系外，還不能將此二進制的記數方法派上其他用場。

    邵雍的這項發明，已為當時的程顥所理解，并為之命名為“加一倍法”。程顥認為邵雍的“加一倍法”比揚雄的太玄數更高明。當時邵雍聽到程顥的話之后驚撫其背說：“大哥，你恁聰明！”

    邵雍的“加一倍法”受到后來的朱熹的重視。在朱熹那里，“加一倍法”又被稱作“加一位法”。而“加一倍法”的要點就在于，加一位，即加一倍。

    按照邵雍“加一倍法”的原理，每增加一個爻位(實即數位)，二進制數表中所包含的自然數的數目便會增加一倍，比如二進制六個數位包含了六十四個自然數(0-63)，若增加到七個數位，那自然數的數目也便翻了一番，而包含一百二十八個自然數(0-127)。若增加到八個數位，便包含二百五十六個自然數(0-255)。而若從八個數位增加到十五個數位，那自然數的數目便翻七番，而包含三萬二千七百六十八個自然數(0-32,767)。如此類推，數位越多，包含的自然數的數目也越多。而即使再多數位，其中包含的自然數的數目再多，要用二進制的記數方法寫出它所包含的所有自然數，也并不困難。

    這也就是說，只用兩個符號便可以以一種明白無誤的邏輯方法(可操作、可驗證的)表示任何自然數。反過來也可以說，一切自然數都可以用兩個符號以邏輯的方法表示出來。

    邵雍的“加一倍法”意味著中國早在九百多年前的北宋時期，已經發明了二進制的記數方法，這是中國先哲的智慧和光榮，我們作為后人應該記住它，而不應該抹煞它！

    本文得到董光璧教授撥冗審讀指正，在此謹致謝意。【原標題：邵雍的“加一倍法”就是嚴格意義的“二進制”】